セミナーの構成

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http://marulabo.conohawing.com/test/docs/sdlc/

セミナーは、次のようなコンテンツで構成されています。

● Part 1 ソフトウェア開発でのAI利用の動向

　・AI利用の急速な拡大
　　　ザッカーバーグの予測
　　　AIベンダーの動向
　・広がる危機感
　　　攻撃者としてのAI / 防御者としてのAI
　　　RSAC 2025 レポート AIとNHIによる脅威の拡大

● Part 2　ソフトウェア開発とAI Agent

　　・ソフトウェア開発へのAI Agent導入の動向
　　・Multi AI Agent プログラミング
　　・A2A: Travel Agent サンプル
　　・ADK: コード開発パイプライン・サンプル

● Part 3　　ソフトウェア開発の課題と未来

　　・人間はAIに何を伝えるのか？
　　・LLMと形式手法の統合
　　・人間と機械の関係を考える

音声概説

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セミナー

マグニチュード論の展開

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[ai_playlist id="7138"]

マグニチュードとは何か

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[ai_playlist id="7243"]

LLMと意味の理論モデル概説

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[ai_playlist id="7259"]

AI とマインクラフトの世界

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[ai_playlist id="7102"]

ソフトウェア開発サイクルの変革とAI Agent の動向

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[ai_playlist id="6836"]

コラム

Modular Form が辿った道

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音声概要再生プレーヤー

ラングランズ・プログラムとは何か

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Langlands

MaruLaboについて

MaruLaboについて、AIがレポートしています。
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公開したセミナー

公開詳細情報

講演資料

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講演ビデオ再生リスト

セミナーの音声概要

5月のマルレクへの招待

====================
セミナーへのお申し込みはこちらからお願いします。
https://sdlcagent.peatix.com/view
====================

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はじめに

ソフトウェア開発でのAI利用の動向

AI利用の急速な拡大

ザッカーバーグの予測

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ザッカーバーグの予測（音声による概要）

AIベンダーの動向

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AIベンダーの動向（音声による概要）

広がる危機感

攻撃者としてのAI / 防御者としてのAI

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攻撃者としてのAI / 防御者としてのAI −− RSAC2025（音声による概要）

RSAC 2025 レポート AIとNHIによる脅威の拡大

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RSAC 2025 レポート AIとNHIによる脅威の拡大（音声による概要）

ソフトウェア開発とAI Agent

ソフトウェア開発へのAI Agent導入の動向

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AI Agent導入の動向 （音声による概要）

Multi AI Agent プログラミング

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A2A: Travel Agent サンプル

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ADK: コード開発パイプライン・サンプル

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System Message instruction とセキュリティ（音声による概要）

ソフトウェア開発の課題と未来

人間はAIに何を伝えるのか？

主要なAI開発ツールは、主にコード補完やチャット支援に重点を置いており、大規模プロジェクトの複雑な構造やモジュール間の連携をAIに直接指示する機能はまだ限定的です。

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大規模プロジェクトへの仕様の提示（音声による概要）

LLMと形式手法の統合

LLMは驚異的なコード生成能力を示す一方で、信頼性の問題をいくつか抱えています。LLMのコード生成能力と形式手法の厳密性を統合するアプローチは、ソフトウェア開発の自動化において革新的な可能性を秘めています。

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LLMと形式手法の統合の動向（音声による概要）

形式手法で利用される証明支援システム：CoqとLean（音声による概要）

人間と機械の関係を考える

ソフトウェア開発の現場で、人間の機械による代替が急速に進む可能性は高まっています。それは完全な無人化へと進むのでしょうか？ それは可能でしょうか？　ソフトウェア開発の現場に残された少数の人間には、どのような能力が必要とされるのでしょう？　一人の人間が、多くのAIをコントロールすることは可能でしょうか？

補論 −− Agent論の二つの系譜

AI Agent 論

AI Agent 概念の成立と進化（音声による概要）

数学的 Agent 論

von Neumann, Conway, Baez（音声による概要）

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8/31 マルレク「コンピュータと数学」コンテンツ公開の詳細

このセミナーのコンテンツの詳細については、↑のリンクをクリックください。
ビデオ、講演資料を一つにまとめたものだけでなく、各パートごとに分割したものにもアクセスできます。

8月マルレク「コンピュータと数学 1 — TuringからVeovodskyまで」へのお誘い

AI技術の次の未来を展望する

「大規模言語モデル」ベースの現代の生成AI技術は、ネット上の膨大なテキストの集積を学習して、そこから、人間の「言語能力」と呼ばれているものの基本的部分 –「意味の理解」「新しい文の生成」「対話形のコミュニケーション」、「文字として蓄積された情報の活用」等 — をコンピュータ上で実現することに成功しました。

それは画期的なものです。この連続セミナーは、歴史的な成功をおさめたAI技術の次の未来を展望することを目的としています。

それなら、「AIの未来」のようなタイトルの方が良かったと思われるかもしれません。

ただ、一見するとAIとの関係がはっきりしない、一般的な「コンピュータと数学」というタイトルを選んだのには理由があります。それは、AIの未来についてのつぎのような僕のビジョンに関係しています。

AIの未来についての三つのビジョン

第一。僕は、未来の（あるいは、近未来なのかも）AIの発展の課題の焦点の一つは、人間の二つの基本的能力である「言語能力」と「数学的＝論理的能力」の「統合」の課題だと考えています。

第二。ただ、「大規模言語モデル」は人間の「言語能力」の理解に画期をもたらしたのですが、ただ、その方法の素朴な延長では、AIの数学＝論理的能力の飛躍は望めないだろうと考えています。

それなら、「AIと数学」というタイトルがいいのではという考えもあると思います。でも、そうしたタイトルを選びませんでした。

一つには、大規模言語モデルベースの生成AI技術の華々しい成功の中で、ほとんどの人が「AI ＝ 生成AI」と思っている現状では、先の「第二」の論点は、なかなか伝えるのが難しいと感じたからです。

コンピュータは、それ自身で「数学的＝論理的能力」を持っている

もう一つには、僕がこのセミナーで伝えたいAIの未来について、もう一つのメッセージがあるからです。

第三。そもそも、コンピュータは、それ自身で「数学的＝論理的能力」を持っているという考えかたがあるということです。

こうした考えを進めれば、わざわざ、「大規模言語モデル」の上に数学的＝論理的能力を構築しようとするのは、コンピュータが本来持つ力を過少に評価しているのであって、それは余計な回り道だということになります。

僕は、こうした考えに魅力を感じています。こうした考えは、新しいものではありません。それは、コンピュータの歴史と同じくらい古いものです。ですが、生成AIの登場によってその考えが古びるものではないと僕は考えています。

「AI」という言葉は、少し窮屈

今回のセミナーでは、「AI」と言うことばをタイトルから外して、「コンピュータ」ということばに置き換えてみました。それで、すこしは自由にAIの未来を考えることができると感じています。

要するに、「AIの未来」を、「AI」を主語とするのではなく、「コンピュータ」を主語として、「コンピュータの未来」というパースペクティブで考えてみようというのが、今回のセミナーの趣旨です。僕の問題意識からすると、その焦点は、コンピュータの数学的能力だということになります。

もっとも、今回のセミナーが、「数学の歴史の話」でも「生成AI批判」でもなく、歴史的な成功をおさめたAI技術の次の未来を展望することを目的としていることを説明するのに、これだけグダグダ語らねばならないというのは、どこかでボタンを掛け違えたのかもしれませんね。ただ、このシリーズ少し続けてみようと思います。

今回のセミナーの構成

今回のセミナー「コンピュータと数学 1 — TuringからVeovdskyまで」は、次のような構成をしています。

　Part 1 機械は考えることができるか？
　　・Turingが考えたこと
　　・Veovodskyが考えたこと

　Part 2 「計算 = 証明 = プログラム」という認識の発展
　　・Curry-Howard 対応
　　・Martin-LofのDependent Type Theory
　　・VeovodskyのHomotopy Type Theory I — Dependent Type
　　・VeovodskyのHomotopy Type Theory 2 — Univalent foundations

　Part 3 コンピュータによる数学的証明
　　・連続体仮説の独立性証明
　　・Feit–Thompson定理の形式的証明
　　・ケプラー予想の証明

Turingは、「機械は考えることができるか？」という問題を、初めて提起しました。
Veovodskyは、「すべての数学的証明はコンピュータ・プログラムの形をとるべきだ。」と主張し、それを実行しようとしました。

二人のコンピュータ観には、大きな飛躍があります。

今回のセミナー「コンピュータと数学 1 — TuringからVeovdskyまで」は、こうした飛躍をもたらしたものが、「計算 = 証明 = コンピュータ・プログラム」という認識が、「型の理論」の中で成立したからだと考え、「型の理論」の発展の歴史を紹介しています。

最後のパートは、コンピュータ・プログラムによる数学的証明の実例を紹介しています。

連続セミナー「コンピュータと数学」の展開について

連続セミナー「コンピュータと数学」は、今後、次のような展開を予定しています。 ご期待ください。

当初、今回のセミナーで取り上げると予告していたGATlabについては、「AIの未来」を「コンピュータと数学」という切り口から考えようとするアプローチの背景を、もう少し丁寧に紹介してから話してみたいと思っています。急なコンテンツの変更、お詫びします。

　「コンピュータと数学 1 — TuringからVeovdskyまで」
　「コンピュータと数学 2 — Turingマシンから量子コンピュータまで」
　「コンピュータと数学 3 — GATlab」
　「コンピュータと数学 4 — Agent Based Modelの数学」

Part 1 機械は考えることができるか？

Turingが考えたこと

AIの時代を切り拓いたのは、今から1950年のTuringの論文だと思います。その画期的な論文 “Computing Machinery and Intelligence” の冒頭で、彼はこう語ります。

「機械は考える事が出来るか? (Can machines think? )」という問題を考察することを提案する。

今なら、誰かが「AIは考えることができるか？」といっても、誰も驚かないし、そうした問題提起が大きな関心を集めることもないように思います。

もちろん、「生成AIで数学の問題が解ける」と主張しても、「生成AIで数学の問題は解けない」と主張しても、それが異端視されることはありません（多分）。

ただ、この論文が出された1950年ではそうではありませんでした。彼は、「機械は考えることができる」という主張が、「異端」とみなされるだろうことをはっきりと自覚していました。

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Veovodskyが考えたこと

Voevodskyは、Milner予想、Bloch-Kato予想を解くなど、代数幾何でグロタンディックが進もうとした道で、大きな業績を残した数学者です。

2002年、26歳の時、彼はこうした業績でフィールズ賞を受賞します。

2017年、彼は動脈瘤で突然亡くなります。51歳でした。

多くの数学者が、早すぎる彼の死を悼みました。
数理物理学者のJohn Baezは、こう語りました。
「彼は、カントールやグロタンディックのような天才でした。」

重要なことは、彼の仕事は、数学の基礎とコンピュータという二つの世界に関係していました。

今回のセミナーのように、「コンピュータと数学」という問題を取り上げるのなら、Veovodskyは 21世紀の最も重要な人物の一人だと僕は考えています。

彼は、数学をその基礎から改めて考えなおしたのです。そして、集合論に変わる新しい数学の基礎づけ Univalent Foundationを構築します。

さらに、彼は、数学の証明に、コンピュータを使うべきだと主張した最初の数学者となりました。それは革命的な主張です。

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Part 2 「計算 = 証明 = プログラム」という認識の発展

Curry-Howard対応 –「計算 ＝ 証明 ＝ プログラム」という認識の成立

重要なことは、「Curry-Howard対応」は、型付きラムダ計算をプログラムと見なせば、”Proof as Program”としても解釈出来るということです。

「計算 ＝ 証明」であることは、すでにGoedel, Church, Turingたちがコンピュータなどない1930年代に気付き、1950年代には “Church Turing Thesis” として広く知られるようになっていました。この時期は、ちょうどコンピュータが産声をあげた時期です。

コンピュータの利用が拡大する中、1980年代に確立した「Curry-Howard対応」の、“Propositions as Types”“Proofs as Terms” ”Proof as Program”という認識は、「計算 ＝ 証明 」に加えて「計算 ＝ 証明 ＝ プログラム」という認識が成立したことを意味します。

それは、Veovodskyの「すべての数学的証明をコンピュータ・プログラムの形で記述しよう」というUniMathのビジョンに受け継がれていきます。

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Dependent Type Theory — Martin-Löf

現在の「型の理論」の基本が出来上がるのは、1980年代になってからです。その中心人物は、Martin-Löfです。

現在のCoq, Agda, leanという証明支援システムは、彼のDependent Typeの理論に基礎付けられています。

Churchの単純な型を持つラムダ計算の体系は、基本的には、型A, 型Bに対して、型 A → Bで表現される関数型の型しか持ちませんでした。

それに対して、Martin-Löfは、論理的な命題にも、自然なスタイルで型を定義しました。
例えば、Aが型であり、Bが型であれば、A∧BもA→BもA∨Bも型であるというように。もちろん、それぞれは異なる型です。

Martin-Löf は、式 a = b にも型を与えます。

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Homotopy Type Theory I– Dependent Type

Homotopy Type Theory (HoTT)は、数学の一分野である「ホモトピー論」と、論理学・計算機科学の一分野である「型の理論」とのあいだに、深い結びつきがあるという発見に端を発しています。

ここでいう「型の理論」は、前回のセッションで紹介したMartin-LöfのDependent Type Theory （従属型理論）です。

Martin-LöfのDependent Type Theory では、a:A に、「Aは型であり、aはその項である」という解釈を与えます。ここで型Aは、基本的には論理式に対応し、項a はその論理式の証明に対応します。（Curry-Howard対応）

VeovodskyのHomotopy Type Theory では、a:Aは、それとは全く違った解釈が与えられます。そこでは、「Aは「空間」であり、aはその空間上の「点」である」という解釈が与えられます。

Homotopy Type Theory では、Dependent Typeの項は、どのように表現されるのでしょう。
Grothendieck constructionを利用します。Dependent TypeΠ(𝑥:𝐵).𝐸(𝑥) の項s(x)  : Π(𝑥:𝐵).𝐸(𝑥)は、fiber上の「点」section として表現されます。

このセッションでは、Grothendieck constructionの丸山のたとえ話での説明がなされています。

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Homotopy Type Theory II– Univalent foundations

Homotopy Type Theoryでは、空間Aの中で、点aと点bをつなぐ「道」がある時、aとbは、同じものと見なします。ただ、点aと点bをつなぐ「道」自体は、連続的に変化しうるものです。連続的に変化する「道」の「同一性」をあたえるものが、homotopyなのです。

homotopy同値による「空間」A内の「点」 a, b の「同一性」の定義は、型の理論で言えば、同じ型Aに属する項a, b の「同一性」の定義でした。ただ、従属型理論には、そもそも型𝛼と型𝛽は等しいことを主張する「同一性」の定義があります。この第二のタイプの同一性をどのように定式化すればいいのでしょう？

第一のタイプの同一性の定式化で有効だった、ある空間での点の同一性をhomotopy同値とfibrationで追求するというアプローチは、この問題ではあまり有効には見えません。なぜなら、ここでの問題の焦点は、点ではなく空間そのものの同一性にあるからです。

無限の階層を持ち、複雑に分岐した構造を持つ位相空間そのものを対象にし、それを構成する任意の空間に自明でない「同一性」あるいは「非同一性」を導入することは、不可能に思えます。

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Part 3 コンピュータによる証明

このセクションでは、21世紀に入って急拡大したコンピュータによる数学の証明の代表的な事例を取り上げています。

「生成AI」の「華々しい成功」の影に隠れて、多くの人は気づいていないように見えるのですが、コンピュータによる知性の実現のSingularityは、この分野ですでに起きていると、僕は感じています。

連続体仮説の独立性証明

ヒルベルトは、1900年に、20世紀の数学が解くべき23の問題のリストを発表した。その問題提起は、20世紀の数学に少なくない影響を与えた。カントールの「連続体仮説」は、この23の問題の第一番目の問題に取り上げられている。

「世紀の難問」と呼ばれた連続体仮説の問題で、大きな前進があったのは、1940年のことだ。クルト・ゲーデルが、連続体仮説と選択公理の二つを満たす集合論のモデルを実際に構成して見せたのだ。この集合論のモデルの中では、連続体仮説は「真」である。

この結果は、連続体仮説を直接に証明したものではないことに注意しよう。それは、集合論と連続体仮説には矛盾がないこと、すなわち、集合論の中では連続体仮説の否定は証明できないことを意味している。

連続体仮説を最終的に解決したのは、J.P.コーエンだった。彼は、「強制法(Forcing Method)」というモデル構成法を創出し、連続体仮説の否定が成り立つモデルを構成した。

先のゲーデルの結果と合わせると、連続体仮説は、集合論の公理群からは独立であることが証明されたことになる。連続体仮説は、集合論の公理群からは証明できないのだ。

結果から見ると、カントールが、全力で連続体仮説を証明しようとして、成功しなかったのには理由があったのである。

コーエンの結果は、始祖のカントールが構想した、いわばカントール的集合論とは異なる、非カントール的集合論が存在することを明らかにした衝撃的なものだった。

ユークリッド幾何学の「第五公準」が、他のユークリッド幾何学の公理群からは独立で、それらから証明できないことの認識の成立が、非ユークリッド幾何学を成立させたのと同じことが、「数学の基礎」である集合論で起きたのである。

コーエンの結果とその方法は、1960年代の中頃には、集合論の構造についての認識を飛躍的に発展させた。

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Feit–Thompson定理の形式的証明

2012年、Georges Gonthierは、Coqを用いて、群論のFeit–Thompson 定理の形式的証明に成功する。この定理は、1962-1963年にWalter Feit と John Griggs Thompson によって証明された、群論の基本的な定理の一つである。

「有限単純群の分類問題」は、Daniel Gorensteinをリーダーとする数学者の集団によって解決され、20世紀の数学の大きな成果の一つと呼ばれている。

ただ、その「証明」は、100人以上の数学者が、50年のあいだに数百の論文誌に発表した、膨大な量の「証明」の総和である。そのページ数は一万ページを超えると言われている。

Gonthierの ”Feit–Thompson theorem” の型式的証明も、膨大なものである。それは、15,000の定義、4,300の定理、17万行のソースからなる。この証明を、彼はチーム作業で、6年かけて完成させた。

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ケプラー予想の証明

「ケプラー予想」は、入れ物の箱に同じ大きさのボールを、どのくらいたくさん詰め込むことができるかという問題に関する予想です。

何も考えずに、箱の上からボールを流し込むと、充填率（詰め込んだボール全体の体積を、容器の箱の体積で割ったもの）は、平均すると 65%程度になるといいます。箱の35%は、すきまになるということです。

もっと、びっしりと、ボールを詰め込みことはできないか？ケプラーは、もっとボールを詰め込むことができる二つの方法を考えました。

1611年、ケプラーは、どんなボールの詰め方をしても、この数字を超えるほど密にボールを詰め込むことはできないだろうと予想しました。これを「ケプラー予想」といiます。ケプラー自身は、この問題に証明を与えることはできませんでした。

1900年のヒルベルトの20世紀の数学が解くべき23の問題の 18番目にこの問題は、取り上げられています。

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「はじめてのCoq」再公開について

「はじめてのCoq」は、MaruLaboのハンズオンの資料として、2019年に公開されたものです。そのハンズオンの概要については、次のURLを見ていただければと思います。　https://coq-handson.peatix.com/

ChatGPTの登場は「人工知能」技術に対する関心を飛躍的に高めました。

その中で、言語ネイティブな人間に近いGPTのような大規模言語モデルに基づく「人工知能」技術とは異なる「人工知能」技術への関心も少しずつですが高まっているように思います。

Coq, Agda, Lean等は「証明支援システム」と呼ばれていますが、そのシステムとその背景にある「従属型理論」は、「推論する機械」– いわば数学ネイティブな「人工知能」の構築を展望する上で、プリミティブですが最も基本的な出発点だと僕は考えています。

今回、3年前の資料を再公開したのは、Coqを多くの人に知ってもらうことは、意味があることだと改めて思ったからです。

( 残念ながら、現在(2023/06/11)、このページのビデオには音が入っていません。今時「無声映画」なんて！　時間を見て「トーキー版」に作り替えますので、少しお待ちください。当面、このページのpdfの資料をご利用ください。）

(「音入れ」はじめました。が、当面、新旧混合のページになっています。すみません。Talkie版、タイトルを青くして横に表記しています。)

Coqのインストール　

平原ゼミ Coq スタートアップセミナー を利用ください

Hands on のソース

Coq Tutorial 　https://github.com/maruyama097/coq-tutorial

旧ページのサイレントなムービーの再生リスト

新ページのTalkieなムービーの再生リスト

Hello Coq!

Coqとのはじめての対話　(Talkie)

( ムービー　pdf 　blog:「ファースト・インプレッション」)

人間はCoqに何を伝えたか？ (Talkie)

( ムービー　pdf blog:「証明することと証明を検証すること」)

Coqは人間に何を伝えたか？　(talkie)

( ムービー　pdf blog:「「証明の状態」は変化する」 )

論理式の証明

論理式はどのような形をしているか？　(talkie)

( ムービー　pdf 　blog:「論理学者は BARが好き」)

論理式の部分式への分解とサブゴール　(talkie)

( ムービー　pdf blog:「サブゴールはどこから生まれるか」)

構成のルールと演繹のルール　

( ムービー　pdf )

「正しい」ことと「証明を持つ」こと

( ムービー　pdf )

命題論理の演繹ルール　

( ムービー　pdf )

Coqの返す「証明の状態」と演繹ルール　

( ムービー　pdf )

tactic (1) サブゴールの形と演繹ルールの選択 

 ( ムービー　pdf )

tactic (2) 仮説部の形と演繹ルールの選択 

( ムービー　pdf )

「否定」について 

 ( ムービー　pdf )

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講演資料　「coq-jupyterのセットアップ」 ( ダウンロード)

講演ビデオ

これまでの「Coq スタートアップセミナー 」

• 第一回「Coq環境の紹介」
• 第二回「CoqIDEのセットアップ」
• 第三回 「jsCoqのセットアップ」
• 第四回 「VsCoqのセットアップ」
• 第五回「coq-jupyterのセットアップ」

「Coq スタートアップセミナー」 再生リスト

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セミナーの目的

● これからCoqを学習したい人を対象
● すぐにCoqを使用できるように!
● Coqの実行環境の紹介
● Coqの実行環境のインストール方法を説明

講師紹介　平原貴音

○ マルレクスタッフCoq係
○ フリーランスのプログラマ
○ 三浦半島在住
○ Python, C++, macOS, Linux, Windows
○ 並列コンパイラからロボット制御までいろいろやってます
○ キャリアのスタートはハードウェア検証、ソフトウェア検証としての Coqに期待

第一回「Coq環境の紹介」

講演資料　（ダウンロード）

講演ビデオ

第二回「CoqIDEのセットアップ」

講演資料　（ダウンロード）

講演ビデオ

第三回 「jsCoqのセットアップ」

講演資料　（ダウンロード）

講演ビデオ

第四回 「VsCoqのセットアップ」

講演資料　（ダウンロード）

講演ビデオ

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7/30 マルレク「並列・分散アルゴリズムの基礎」へのお誘い

7月30日、「並列・分散アルゴリズムの基礎」をテーマにマルレクを開催します。https://concurrent.peatix.com/view

今回のセミナーには、大きく二つの目的があります。

第一は、「排他制御 Mutual Exclusion 」「生産者・消費者同期 Producer-Consumer Synchronization 」といった基本的な並列アルゴリズムを、改めて学ぶことです。

これらのアルゴリズムは、1960年代の半ばにダイクストラらによって定式化されたもので、計算科学のいわば「古典」と言ってもいいものです。

ただ、こうした知識が、現代では不要になったわけではありません。

セミナーの第二の目的は、こうした並列・分散アルゴリズムの基礎理論が、現代ではどのように捉え返され新しい理論化がなされているのか、その一端を紹介することです。

基本的には、並列・分散アルゴリズムのSafety Property（間違った処理を行わないこと）、Liveness Property(ある処理が行われるべきこと)、Fairness（Liveness Property の緻密化）といった概念を紹介したいと思っています。

Liveness / Fairness は、直接はdeadlock の回避と理解されてもいいのですが、livelockやunfairなリソース配分や、このところ話題の「輻輳」が起きないことを含んだ広い概念です。

今回のセミナーの骨組みは、2015年のランポートのTuring賞受賞講演に全面的に依拠しています。興味がある方は、是非、原論文をお読みください。
“The Computer Science of Concurrency: The Early Years”
https://cacm.acm.org/magazines/2015/6/187316-turing-lecture-the-computer-science-of-concurrency/fulltext#R9

お申し込みは、こちらからお願いします。
https://concurrent.peatix.com/view

講演資料 「並列・分散アルゴリズムの基礎」（ダウンロード）

セミナー解説blog

• あのころみんな若かった
• go to 文も素晴らしい！
• これは、やさしいアルゴリズムだ!
• アルゴリズムを図解する
• 無理は承知で …
• 次章へ。その前に ...
• なぜ、歴史を振り返るのか？
• アルゴリズムとプログラムは違うものです
• アルゴリズムの振る舞いを図解する
• アルゴリズムの不変量
• 相対論とプログラミング
• アルゴリズムの標準モデル

セミナー解説資料

排他制御 1 ダイクストラ

ダイクストラのMutual Exclusion アルゴリズム 1

( スライドのpdf blog:「あのころみんな若かった」)

ダイクストラのMutual Exclusion アルゴリズム 詳細

( スライドのpdf blog:「go to 文も素晴らしい！」)

排他制御 2 ランポート

ランポートのbakeryアルゴリズム 1

( スライドのpdf blog:「これは、やさしいアルゴリズムだ！」)

ランポートのbakeryアルゴリズムの正しさ

( スライドのpdf blog:「アルゴリズムを図解する」)

新しいbakeryアルゴリズムと並列性の表現

( スライドのpdf blog:「無理は承知で …」)

生産者消費者同期

ダイクストラのsemaphore

( スライドのpdf blog:「次章へ。その前に ...」)

生産者消費者同期アルゴリズムを記述する

( スライドのpdf blog:「なぜ、歴史を振り返るのか？」)

Producer-Consumerアルゴリズムの振る舞いを図解する

( スライドのpdf blog:「アルゴリズムの振る舞いを図解する」)

アルゴリズムの正しさへのアプローチ

アルゴリズムとプログラム

( スライドのpdf blog:「アルゴリズムとプログラムは違うものです」)

状態モデルとアルゴリズムの「不変量」

( スライドのpdf blog:「アルゴリズムの不変量」)

イベントの順序関係とランポートの「論理的時計」

( スライドのpdf blog:「相対論とプログラミング」)

状態とアクションと時制論理式

( スライドのpdf blog:「アルゴリズムの標準モデル」)

MaruLabo 関連ページ

「プログラムと論理」 2019/10/10 マルゼミ

小論は、 Deep Specificationのような現代の「形式的手法」の理解を深めることを目的としている。

現代の「形式的手法」には、いずれも50年近く前の1970年代に遡る、二つの異なった「起源」がある。両者ともに「プログラムと論理」という問題意識は共通していたのだが、生まれた場所が異なっていた。一つは、論理学＝数学の領域で生まれ、もう一つは計算機科学の領域で生まれた。

前者の代表は、ハワードやマーチン・レフである。彼らは、「型の理論」を作り上げ、抽象的だが、プログラムの実行は、ある定理の証明に他ならないという認識にたどり着いた。

後者の代表は、ホーアやダイクストラである。彼らは、代入文やif文、シーケンシャルな実行や繰り返しのWhile文といった具体的なプログラムの構成と論理との関係を研究した。

ただ、 20世紀の段階では、 「プログラムと論理」という問題を扱うには、 論理学＝数学からのアプローチでは、現実のコンピュータ技術や具体的なプログラム言語との接点は明確ではなかった。計算機科学からのアプローチでは、論理の多様な性質への理解と、何よりも強力な「証明マシン」を欠いていた。

様々な紆余曲折を経て、両者の統一は、21世紀に持ち込まれることとなった。筆者は、こうした二つの流れが合流したところに、 Deep Specificationのような現代の「形式的手法」が生まれたと捉えている。

小論では、20世紀に計算機科学の中で追求された「形式的手法」とその「挫折」を、一つのトピックにしている。このテーマでは、歴史を振り返るのには意味があると考えている。なぜなら、現代の「形式的手法」は、かつて一度失敗したムーブメントの再復活という面を持つからである。

現代の形式的手法の紹介は、前回のマルレクに続くものだが、今回は、出来るだけ具体的な実例の紹介を心がけた。

コンピュータが論理的＝数学的推論能力を持つことの認識と強力な証明マシンの存在こそが、20世紀の形式的手法と現代の形式的手法を分かつ最大の違いだと筆者は考えている。

と言っても、講演とスライドだけでは、「コンピュータによる証明」「コンピュータによる証明のチェック」の強力さ（スピードと規模感）が伝わらないと感じている。その技術は、現代の我々の手の届くところにあるのだ。ただ、多くのIT技術者は、そのことに気づいていない。

改めて、現代の形式的手法の基礎であり、現代のソフトウェア科学の Lingua Franca であるCoqの利用者を増やすことの重要性を強く感じている。

「分散合意アルゴリズム — Paxos」 2022/01/29 マルレク

今回のマルレクのテーマは、代表的な「分散合意アルゴリズム」であるPaxosの紹介です。

なんで今頃Paxosなのかと感じる人もいると思います。IT系の話題を取り上げるのは久しぶりなので、最初に、このセミナーの背景を述べておこうと思います。それは、現在の日本で、大規模なシステム障害が連続して起きていることと、すこし関係しています。

21世紀初頭のIT技術とITビジネスの大きな変化は、膨大な計算資源を集中してネットワークを通じてサービスを提供するクラウドと呼ばれる巨大なシステムの成立によって特徴づけられます。こうしたクラウドへのリソースの集中に対応して、クラウドのサービスを利用するクラウド・デバイスとしてのスマートフォンが拡散し、ほとんど全人類に普及します。

技術者のライフサイクルからみれば、このクラウド時代への移行は、驚くほど短期間に急速に進行しました。

大規模システムというのは、単に、システムの規模が大きいことを意味しません。今日では、大規模システムは、設計者がそれを意識するか否かに関わらず、クラウドと同じようにネットワークをまたいだ大規模分散システムの形を取ります。

プログラミングのスタイルも大きく変わりました。サーバーサイドでサービスを作るプログラマも、クライアントサイドでアプリを作るプログラマも、本人がそれを意識すると否とに関わらず、今日のプログラマの大部分は、ネットワーク・プログラマです。

クラウド技術はもちろんネットワーク技術なのですが、クラウド技術成立の前提には、「ネットワーク上で規模を拡大しながら、システム全体としては障害を起こさないシステムを作ることは難しい」という認識があったことです。この認識は「ハードウェアの障害は起きるものだ」という障害観の成立とともに、重要なものだと思います。

クラウドの技術は、まさにこうした困難を乗り越える技術として登場しました。また、それは、冒頭でも見たように、大きな成功を収めました。

ただ、僕は、変化のスピードが早すぎて — 繰り返しますが、技術者のライフサイクルから見ればということですが — ネットワーク上でシステムを構築するというクラウド時代の中心的変化の技術的な意味が、クラウド以前の技術者にもクラウド以降の技術者にも、きちんと伝わっていないのではという心配をもっています。

それは、クラウド以前の技術者だけの問題ではありません。若い技術者は、必ずしもクラウド技術の一時代を画したGoogleの”Google File System (GFS)” や”BigTable” に関心を持っているわけではないように思えます。

GFSとBigTableは、直接的には異なる目的のために開発されたものです。ただ、両者で共通に利用されている “Chubby”と呼ばれた「分散ロック・サービス」は、Paxosの実装にほかなりません。見かけは地味ですが、こうした形での「分散合意アルゴリズム」の利用には、クラウド技術のエッセンスが詰まっていると僕は考えています。

10年以上前の技術の昔話をするつもりはありません。「風が吹けばオケ屋が儲かる」式に「Paxosがわかればクラウド技術がわかる」という話をするつもりもありません。ただ、知らないままに通り過ぎる訳にはいかない技術は存在します。

その上、「分散合意」技術、けっして完成した過去の枯れた技術ではありません。その重要性は、現代のIT技術においても、新しい装いのもとに引きつがれています。

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2022/03/26 マルレク 概要

3/26 マルレク「コンピュータ、数学の問題を解き始める」へのお誘い

Open-AI Theorem Prover

この2月に、 Open-AI はとても興味深い発表を行いました。彼らは、国際数学オリンピックのいくつかの問題をコンピュータを使って解いて見せたのです。例えば、2000年の数学オリンピックの問題は、こんな感じです。

問題
　 |x – 2| = p とする。 x < 2 の時、x – p = 2 – 2p となることを証明せよ。

証明
　 x < 2 なので、|x – 2| = – (x – 2)である。p = |x – 2| を使えば、x = 2 − p である。結局、x – p = 2− 2p となる。

この例は、高校生の数 I レベルのやさしい問題ですが、こうした問題をコンピュータが解くのは、画期的だと思います。論文には、この例をふくめて6つの例が紹介されています。

実際には、コンピュータは、形式的証明を返すのですが、ここで紹介したのは、「非形式的 Informal」な証明です。コンピュータは、Informal ボタンを押すと、こうした「非形式的」証明を返してくれます。形式的証明を非形式的証明へ要約・翻訳できるのも面白いです。

「数学オリンピックの形式的問題（のいくつか）を解く」
“Solving (Some) Formal Math Olympiad Problems”
https://openai.com/blog/formal-math/　

Deepmind Nature 論文

Deepmindは、数学へのAIの利用について、昨年12月、Natureにこんな論文を発表していました。それは、AIを利用することで人間の数学的直観を導くことができることを示して、数学者に向けてAIも使いみちがあると述べたものでした。

“Advancing mathematics by guiding human intuition with AI “　https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

今回のOpen-AIの発表は、そうした関心と方法の延長線上にあるものだと思います。

セミナーで伝えたいこと

セミナーでは、まず、Open-AI / Deepmind によるこうした動きを紹介しようと思います。それは、現在のAI技術の到達点を知る上で、重要なことだと思います。

ただ、今回のセミナーで伝えたいことは、もう一つあります。それは、こうした「成果」を、「ニューラル・ネットワーク」や「ディープ・ラーニング」、一般に AI 技術と言われるものの「成果」と単純に見做すべきではないということです。

丸山は、コンピュータ・プログラムが、もともと「論理=数学的推論」を行う能力を持っていると考えています。それは、いわゆるAI技術に基づいて「論理＝数学的推論」を実現しようというのとは異なる視点です。詳しくはセミナーで。

関連する論文 Deepmind AlphaCode

Deepmind は、2月に、数学オリンピックではなく、プログラム・コンテストの問題を解く取り組みを発表しています。

“Competition-Level Code Generation with AlphaCode
https://storage.googleapis.com/deepmind-media/AlphaCode/competition_level_code_generation_with_alphacode.pdf

Scott Aaronsonが、AlphaCodeを取り上げたblogのタイトルは、すこしひどいものでしたが、興味ある方は、ご一読を。

「下手くそな英語を話す犬としてのAlphaCode」
“AlphaCode as a dog speaking mediocre English”
https://scottaaronson.blog/?p=6288

セミナーの申し込み

セミナーの申し込み、受付を始めました。
次のページからお願いします。https://math-proof.peatix.com/

3/26 マルレク「コンピュータ、数学の問題を解き始める」講演資料

（ ダウンロード ）

3/26 マルレク「コンピュータ、数学の問題を解き始める」講演ビデオ

第1部 Open-AI Theorem Prover

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第2部 Open-AI Theorem Proverは何を学習したのか？

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第3部 数学者、証明にコンピュータを使い始める

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第4部 形式的証明の背景と変化の意味を考える

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セミナー解説blog

• はじめに
• AIについての二つの見方
• 誰が証明を行っているのか？
• Deep Learningの到達点と課題
• セルフ・プレイに代わるもの
• お勉強は大変だ
• すごい！ でも、すこし違うかも
• 数学者、コンピュータを使い始める
• 感慨 — 思えば遠くに来たもんだ
• 数学者もブラックな冗談を言う
• 丸山、証明に失敗する
• 数学者も証明を間違える
• 巨人の肩の上の小人
• 数学のスタイルが変わる？

はじめに

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( slide blog:「はじめに」)

第一部 Open-AI Theorem Prover

Open-AI Theorem Proverが証明したこと

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( slide blog:「AIについての二つの見方」)

Open-AI Theorem Proverが行う証明

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( slide blog:「誰が証明を行っているのか？」)

数学的証明の重要性とその難しさ

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( slide blog:「Deep Learningの到達点と課題」)

難しさにどう立ち向かうか？

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( slide blog:「セルフ・プレイに代わるもの」)

論文の結論にみるその「限界」の認識

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( slide blog:「Open-AI Theorem Proverの限界」)

第二部 Open-AI Theorem Proverは何を学習したのか？

彼は、何を学習したのか？ (1) miniF2F-curriculum

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( slide blog:「お勉強は大変だ」)

彼は、何を学習したのか？ (2) synth-ineq

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( slide blog:「すごい！ でも、すこし違うかも」）

彼は、何を学習したのか？ (3) mathlib-train

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( slide blog:「数学者、コンピュータを使い始める」)

第三部 数学者、証明にコンピュータを使い始める

数学者、コンピュータを使い始める

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( slide )

連続体仮説をコンピュータで解く

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( slide blog:「感慨 — 思えば遠くに来たもんだ」)

「連続体仮説」を自宅のマシンで「証明」してみたLog！

(ダウンロード)

Feit–Thompson定理の形式的証明

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( slide blog:「数学者もブラックな冗談を言う」)

ケプラー予想の証明

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( slide blog:「丸山、証明に失敗する」)

第四部 形式的証明の背景と変化の意味を考える

なぜ、証明にコンピュータを使うのか

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( slide blog:「数学者も証明を間違える」)

数学的知の「累積性」

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( slide blog:「巨人の肩の上の小人」)

Univatent Foundation

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( slide blog:「数学のスタイルが変わる？」)

MaruLabo 関連資料

IT技術とCoqの世界 –証明 = プログラム = 計算の意味を考える

プログラムと論理

2のn乗の話（Turingマシンについて）

集合論入門

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2022/03/01 マルゼミ「「同じ」を考える — Univalence Axiom 入門」

小論は、2019 年1月29日のセミナー「「同じ」を考える — 「型の理論」入門」をベースにして、Homotopy Type Theory の Univalence Axiom にフォーカスしてバージョンアップしたものです。以前のは、音声なしの「無声映画」だったのですが、今回は、その「talkie 版」です。

「2022/03/01 マルゼミ」という記されていますが、これは、この日にセミナーを行うことを意味していません。この日から、コンテンツの配信が始まるものとお考えください。可能であれば、セミナーの開催とコンテンツの配信を分離するスタイルを進めていきたいと思っています。

「はじめに」から（旧バージョン）

「同じ」あるいは「同じではない」という判断は、知覚にとっても認識にとっても、最も基本的な判断の一つである。認識の対象が、自然であれ、人間であれ、あるいは、思惟が産み出す抽象的な概念であれ、その認識の土台には、対象の「同一性」についての判断があるように思う。
小論の第一部では、まず、日常の生活の中にも現れる「同じ」をめぐる問題を、いくつかのサンプルで考えてみようと思う。その後で、「哲学者」たちが、こうした問題をどのように考えていたのかを、きわめて簡単に振り返ろうと思う。
残念ながら、小論は、「同一性」についての、「哲学的」議論を紹介することを目的とはしていない。ただ、第一部での議論を通じて、日常の中にも、浅からぬ哲学への入り口が存在していることを意識することを楽しんでもらえれば嬉しいと思う。

小論の第二部では、20世紀の科学が、すくなくとも自然認識の領域では、「同一性」概念の大きな変化を引き起こしたことを述べようと思う。
相対論は、宇宙規模の巨大な空間では、時間の「同時性」が成り立たないことを示し、量子論は、極めて微小な領域では、すべての物質と力は、「同じ」性質を持つ不断に変化する素粒子の運動として記述できることを示した。同時に、両者ともに、その法則性は、ある種の「不変性」として記述される。
物理的な「同一性」は、基本的には「情報」の「同一性」として表現されるのだが、この分野でも、量子情報理論の発展は、エンタングルメントや量子テレポーテーションといった、「同一性」にかかわる思いがけない知見を我々にもたらしている。

小論の第三部は、数学での「同一性」にまつわる議論を、「型の理論」の成立と発展を中心に概観したものである。
「型の理論」は、20世紀初頭のラッセルに始まる。40年代のチャーチの「型付きラムダ計算」を経て、70年代には、マーティン・レフの「従属型理論」として発展してきた。その理論は、「関数型言語」の成立に大きな影響を与えた。
21世紀に入ってから、この分野は、ヴオェボドスキーの「ホモトピー型理論」の登場によって、大きな飛躍を遂げる。彼がこの理論の基礎に置いた “Univalent Axiom” は、「同一性」についての新しい原理に他ならない。それは、数学の基礎そのものについての新しい洞察を可能にするものであった。
彼が、この理論の展開をすべてコンピュータを使った証明支援システム上で行なったことは、特筆に値する。

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