人は、正しくないことを信ずることがあること

1. 数学者の「不実さ」について
2. 嘘つきが盲人に色を教える話
3. 人は、正しくないことを信ずることがあること
4. 知ることと信じること
5. 「大貧民」の必勝法
6. コンピュータが数学的定理を証明することの意味
7. 機械は、論理的=数学的推論能力を持つ

神託、魔法使い、数学的証明

1. 計算は好きですか？
2. 数学者も計算を間違えることがある
3. 誤った「証明」
4. 「巨人の肩の上の小人」
5. 小さな子供も巨人に成長することがある
6. 人工知能と計算科学
7. 「異端」としてのチューリング
8. 神託、魔法使い、数学的証明 （１）
9. 神託、魔法使い、数学的証明 （２） ArthurとMerlin

複雑性理論と人工知能 (2018年のblog)

• 複雑性理論と人工知能技術（１）　はじめに
• 複雑性理論と人工知能技術（２）　チャーチ＝チューリングのテーゼ
• 複雑性理論と人工知能技術（３）　ナッシュとゲーデル
• 複雑性理論と人工知能技術（４）　ファインマン
• 複雑性理論と人工知能技術（５）　ドイッチェ
• 複雑性理論と人工知能技術（６）　言語能力はP？
• 複雑性理論と人工知能技術（７）　数学とNP問題
• 複雑性理論と人工知能技術（８）　中間まとめ

複雑さについて (2017年のblog)

• 複雑さについて（１）　AI「フレーム問題」
• 複雑さについて（２）　Compositionality
• 複雑さについて（３）　コルモゴロフの複雑性
• 複雑さについて（４）　チャイティンの不完全性定理
• 複雑さについて（５）　チャイティンとゲーデル
• 複雑さについて（６）　複雑さと計算量の理論
• 複雑さについて（７）　PとNP
• 複雑さについて（８）　複雑さとエントロピー

数学の基礎と計算科学 (参考資料)

MIP*=RE 関連資料集

Voevodsky

• Maruyama’s Tweet on Univalent TheoryVladimir Voevodsky, 2014年,
• “The Origins and Motivations of Univalent Foundations — A Personal Mission to Develop Computer Proof Verification to Avoid Mathematical Mistakes”
• UniMath
• 「コンピュータは、数学のルーツを再定義するのか？」
• Voevodsky死す
• Vladimir Voevodsky Memorial Conference
• Voevodskyが「最後」に考えていたこと
• MaruLabo 「同じ」を考える — 「型の理論」入門

John Baez

• John C. Baez, Mike Stay, 2009年,
• “Physics, Topology, Logic and Computation: A Rosetta Stone”
• Struggles with the Continuum
• John BaezのNetwork Theory

Lawvere

• Lawvere トポス理論教科書
• 50年前のLawvereの機械学習の特徴づけがエクセレント！

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セミナー概要

今回の「楽しい数学」のトピックは、2のn乗の話です。
なにか簡単な話に見えますが、意外と広がりがあります。お楽しみに。
いずれの話も、特別の数学的な前提知識は必要ではありません。皆さんのおこしをお待ちしています。

第一話は「2のn乗の意味を考える」です。

● IT の世界の人は、1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, … という2のn乗の並びはよく知っていますね。2の10乗が1024で、1K Byteの単位になっていることも。
● 2のn乗は、また、二つのものを重複を許してn個並べる順列の数です。それは、二進数でn桁の0と1の並びの数を考えればわかります。
● 2のn乗は、n個の要素を持つ集合の、部分集合の数です。
● 2のn乗は、定義域が n = { 0, 1, 2, … , n-1} で値域が 2 = {0, 1} に値を取る全ての関数の数を表します。
● …

第二話は「直線の上に点は何個あるか？」です。

第一話との関係が、すぐにはわかりにくいかもしれません。でも、関連があるんです。
集合論の創始者のカントールは、自然数の個数をn とすれば、実数の個数は 2のn乗になることを予想しました。これを「連続体仮説」と言います。残念ながら、カントールは、このことを証明できませんでした。

第三話は、チューリングマシンについて基本的なことを確認しています。それは第四話の準備になっています。チューリングマシンについてはマルレク「チューリングマシンを学ぼう！」の「チューリングマシンの基礎」を参照ください。

第四話は、「計算できる数は何個あるか？」です。

ここでは、「計算できる数」についての、チューリングの仕事を紹介します。
彼は「計算する機械」（彼の名前をとって「チューリング・マシン」といいます）を具体的に構成して、「定義はできるけど、実際に計算できない数がある」ことを示しました。内容的には、有名なゲーデルの「不完全性定理」と同じようなものです。不完全性定理、難解だと思っている人が多いのですが、それらの不思議な主張は、第二話で述べた、自然数の個数と実数の個数の大きな「違い」に注目すれば、直観的に理解することができます。

(2020/06/30 楽しい数学)

セミナー解説資料

「2のn乗」の様々な解釈

「2のn乗は関数を表す」という話

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「一対一対応」の話

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「実数の個数は自然数の個数より多い！」

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公開セミナー「2のn乗の話」　講演ビデオと講演資料

公開ビデオ

第1章 2のn乗の様々な解釈

第2章 𝔠 = 2^(ℵ_0) : 連続体仮説

第3章 Turing Machine入門

第4章 Turing Machineと計算可能な数

講演資料 「2のn乗の話」

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2019/01/29　「同じ」を考える — 「型の理論」入門 　概要

セミナーの呼びかけ

数学では、「同じ」「等しい」というのは、もっとも基本的な概念の一つです。
　「2 x 3 は、3 x 2 と同じである」
　「2辺とその狭角が等しい三角形は、同じ三角形である」
　「自然数と有理数は、同じ数だけ存在する」
　「ドーナツとコーヒーカップは、実は、同じ形である」
ただ、これらの例での「同じ」は、全く「同じ」ではありません。

日常でも、「同じ」という言葉は、よく使われます。
　「彼と僕の身長は同じです」
　「同じ時間、同じ場所で、共に過ごした仲間」
　「みな、同じ気持ちです」
　「この英語と日本語の文章は同じ意味です」
ここでも、「同じ」という言葉は、全く「同じ」ではありません。

これらの表現を、「同じ」という言葉を使わない表現で言い換えて
みようとすると、とても難しいことに気づきます。それは、「同じ」
という概念が、他の言い換えができないほど基本的な概念であることを
意味しています。

セミナーでは、自明なように見えるが、多様さも併せ持つ、「同じ」の
数理を探ります。セミナーでは、また、一昨年急逝した数学者のVoevodskyの
「同一性」をキーコンセプトにした数学の基礎づけの試みを紹介します。

「はじめに」から

「同じ」あるいは「同じではない」という判断は、知覚にとっても認識にとっても、最も基本的な判断の一つである。認識の対象が、自然であれ、人間であれ、あるいは、思惟が産み出す抽象的な概念であれ、その認識の土台には、対象の「同一性」についての判断があるように思う。
小論の第一部では、まず、日常の生活の中にも現れる「同じ」をめぐる問題を、いくつかのサンプルで考えてみようと思う。その後で、「哲学者」たちが、こうした問題をどのように考えていたのかを、きわめて簡単に振り返ろうと思う。
残念ながら、小論は、「同一性」についての、「哲学的」議論を紹介することを目的とはしていない。ただ、第一部での議論を通じて、日常の中にも、浅からぬ哲学への入り口が存在していることを意識することを楽しんでもらえれば嬉しいと思う。

小論の第二部では、20世紀の科学が、すくなくとも自然認識の領域では、「同一性」概念の大きな変化を引き起こしたことを述べようと思う。
相対論は、宇宙規模の巨大な空間では、時間の「同時性」が成り立たないことを示し、量子論は、極めて微小な領域では、すべての物質と力は、「同じ」性質を持つ不断に変化する素粒子の運動として記述できることを示した。同時に、両者ともに、その法則性は、ある種の「不変性」として記述される。
物理的な「同一性」は、基本的には「情報」の「同一性」として表現されるのだが、この分野でも、量子情報理論の発展は、エンタングルメントや量子テレポーテーションといった、「同一性」にかかわる思いがけない知見を我々にもたらしている。

小論の第三部は、数学での「同一性」にまつわる議論を、「型の理論」の成立と発展を中心に概観したものである。
「型の理論」は、20世紀初頭のラッセルに始まる。40年代のチャーチの「型付きラムダ計算」を経て、70年代には、マーティン・レフの「従属型理論」として発展してきた。その理論は、「関数型言語」の成立に大きな影響を与えた。
21世紀に入ってから、この分野は、ヴオェボドスキーの「ホモトピー型理論」の登場によって、大きな飛躍を遂げる。彼がこの理論の基礎に置いた “Univalent Axiom” は、「同一性」についての新しい原理に他ならない。それは、数学の基礎そのものについての新しい洞察を可能にするものであった。
彼が、この理論の展開をすべてコンピュータを使った証明支援システム上で行なったことは、特筆に値する。

セミナーの構成

Part I 「同じ」について考えてみよう

哲学者たちが考えたこと

• ユークリッド幾何学の公理
• プラトンの「観念実在論」
• 中世哲学　「普遍論争」
• ライプニッツ　「不可識別者同一の原理」
• ヘーゲル　「同一性と非同一性の同一性」
• ヴィトゲンシュタイン
• 般若心経

Part II 物理学と同一性

• 相対性理論と「同時性」
• 量子論と「同一性」
• エンタングルメント
• 量子情報理論と「同一性」

Part III 数学と同一性　– 型の理論入門

• Leibniz — 不可識別者同一の原理
• Russell — 集合論の逆理と型の理論
• Church — 型を持つラムダ計算　
• Curry-Howard対応 –型付きラムダ計算と論理との対応
• Martin-Löf — Dependent Type Theory
• Voevodsky — Homotopy Type Theory

VoevodskyのUnivalent Foundation

講演資料　（ダウンロード）

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テーマ：「計算理論入門 — 「やさしい計算」と「むずかしい計算」」

概要：https://mathnight3.peatix.com/
資料：https://goo.gl/9pAU1W

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テーマ：「数とは何か？」

概要：https://math-special.peatix.com/
資料：https://goo.gl/UwdKUo　by 佐藤文広

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2018/05/29 MaruLabo数理ナイト「集合論入門」概要

集合論は、19世紀後半に、ドイツの数学者ゲオルグ・カントールが創り出した数学の一分野です。それまでの数学が、微分や積分や無限級数や幾何学的図形や物理的な運動を対象にしていたのに対して、集合論が対象とするのは、より抽象的な「集合」そのものです。その意味では、集合論の登場は、現代数学の一つの特徴である「抽象化」の歴史的な第一歩といっていいと思います。

ただ、集合論の基本的考え方は、決して抽象的なものではありません。それは、極めて具体的な、「集める」「数える」といった操作を基礎にしています。集合とは、いろいろなものを集めてできたものに、一つのまとまりを与えることです。逆に、いろんなもの（これを「要素」といいます）は、この集合に「属する」と考えます。

集合について大事な特徴の一つは、我々は、集合の要素の数を数えることができると言うことです。こうした考えは自然なもので、小学生に初めて足し算を教えるときには、この集合のモデルを使っています。「赤い石が三つのかたまりと、青い石が五つのかたまりを、一緒にすると、石はいくつ？ 数えてみましょう。」

問題は、こうした素朴な考えを進めていくと、あるところで、急に難しくなるということです。集合論の創始者のカントールが考えた一番難しい問題の一つは、次のようなものでした。答えられますか？
「線は、点を集めたもの。それでは、この線分の上に、点は何個あるのか数えてみよう。」
もちろん、線の上には、無限個の点が存在します。ただ、カントールは、驚くべきことを発見します。私たちに一番身近な無限の例は、1, 2, 3, 4, …. と無限続く自然数です。自然数は、無限個存在します。カントールは、線のように連続なもの（実数で表されます）の上の点の数は、自然数のなす無限より大きいことに気づきます。

無限は一つではないのです。実数の個数は、やはり無限なのですが、その無限は、自然数の個数の無限より大きいのです。

こうして、集合論は、主要に、無限と連続というものを数学的に考える数学として出発します。ただ、その前途は、平坦なものではありませんでした。

講演資料の構成

「数える」を考える

カントールの考えたこと 1 — 無限に数え続ける方法　

カントールが考えたこと 2 — 無限集合の要素の個数

カントールが証明できなかったこと – 連続体仮説

集合論の体系の整備

ラッセルが見つけた集合論の矛盾

ZF: ツェルメロ=フランケルの公理的集合論

非カントール的集合論の発見

ゲーデル　1940年連続体仮説と集合論の無矛盾性の証明

コーエン　1963年連続体仮説と集合論の独立性の証明

数学の基礎を基礎付ける試みの発展 

「集合論入門」講演資料　（ダウンロード）

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2018/04/25　MaruLabo数理ナイト「数理哲学への招待」概要

ディープラーニングや量子コンピュータなど、新しいIT技術をすこし詳しく知ろうとすると、いろんな数学的知識が要求されることがあります。そこで立ち止まってしまう人も多いのではと思っています。それは、残念なことですが、ただ、そのことに、もっぱら小言を言いたいわけではありません。というのも、数学の世界は、プログラミング＝アルゴリズムの世界に隣接して、そのちょっと先にひろがっているからです。

社会が複雑になり、我々の社会的活動が多様になり、また、我々の認識の対象が量子の世界から宇宙まで拡大するにつれ、我々と数学との接点は、ますます広がっていきます。現代の社会的活動の大きな部分をIT技術が占めていますので、ITと数学との接点が広がり深まるのは、ある意味、不可避のことです。

今度のセミナーの目標は、数学が面白いことを感じてもらうというものにしようと思っています。

数学を無味乾燥なつまらない学問だと思っている人は、少なくないと思います。大学受験の世界では、数学は、決して人気の科目ではありません。また、「数学なんて、生きていくのに役に立つの？」と「根本的」な疑問を持っている少年・少女達もたくさんいるでしょう。

ただ、第一に、数学の歴史に注目すれば、そこには、面白いドラマがたくさんあります。それは、それまでの通念がひっくりかえる意想天外のどんでん返しの連続です。登場人物たちも、なかなか魅力的です。

第二に、数学は、もちろん、最終的には数学的形式をまとうのですが、それは完成形です。数学の研究をドライブしているのは、「謎」を見つけて、それを解決したいと思う知的好奇心です。その問題意識自体は、数学の形式にによらなくても定式化できて、そのいくつかは、誰でも、理解すること、考えることは可能なのものがあります。それは、いわば、「哲学」的な問題です。知的好奇心は、数学はどういう学問なのかという数学の基礎自体にも向かいます。面白いのは、こうした分野では特に、数学的関心と哲学的関心は、結びつきます。

第三に、おそらく、物理学の基礎の部分でも、同じこと、哲学的問題意識が学問にとっては有用だという現象がが起きていると思います。「数学が役に立つのか？」という、先の疑問に対する、もっとも有力な回答は、数学が、実在の物質界についての学問である物理の世界で、役に立っていることだと僕は考えています。これも、考えると、本当は不思議なことです。

セミナーの冒頭、参加者に簡単な「思考実験」をしてもらおうと思います。それには、特別な数学的知識は、必要ありません。

講演資料 「数理哲学への招待」

数理哲学への招待 — 思考実験編

数理哲学への招待 — 数学史編

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